PŁASZCZAKI

Ucząc się w szkole geometrii poznajemy najpierw planimetrię, czyli geometrię płaszczyzny, następnie stereometrię, czyli geometrię przestrzeni.

W matematyce rozpatruje się ogólnie przestrzenie wielowymiarowe (tzw., n –wymiarowe). I tak:

przestrzeń jednowymiarowa to prosta (Â - zbiór liczb rzeczywistych, można go przedstawić na osi liczbowej),

przestrzeń dwuwymiarowa to płaszczyzna (² =  Â, ilustracją jest płaszczyzna z kartezjańskim układem współrzędnych),

przestrzeń trójwymiarowa to „nasza” przestrzeń w zwykłym rozumieniu (³ =   Â, ilustracją jest przestrzeń z kartezjańskim układem współrzędnych).

Każdy matematyk bez trudu będzie dokonywał obliczeń w przestrzeni: Â⁴, Â⁵, Â⁶, itd., ogólnie Âⁿ, no właśnie, czy tylko matematyk? W szkole średniej poznajemy wzór na odległość dwóch punktów na płaszczyźnie z układem współrzędnych:

Jeśli punkty A i B mają odpowiednio współrzędne A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂)
to: |AB| =

Wcześniej uczyliśmy się jak obliczać odległość dwóch punktów na prostej:

Jeśli punkty A i B mają odpowiednio współrzędne A = (x₁), B = (x₂),
to: |AB| = |x₂ – x₁|

gdy popatrzymy uważniej, to z własności wartości bezwzględnej wynika, że:

|AB| = |x₂ – x₁| =

Zestawiając kolejno w  : |AB| = ;

w ²: |AB| = ;

Zatem przy wprowadzaniu geometrii analitycznej w przestrzeni (tej „naszej”, ³ ) uczniowie bardzo często sami podawali wzór na odległość dwóch punktów w przestrzeni trójwymiarowej. (Każdy punkt ma trzy współrzędne)

Jeśli A = (x₁, y₁, z₁), B = (x₂, y₂, z₂)

to: |AB| =

Widać z powyższego, że nie jest wielkim problemem obliczenie odległości dwóch punktów w przestrzeni czterowymiarowej. W niej, bowiem każdy punkt (sądzę, że wszyscy kojarzą to naturalnie) ma cztery współrzędne, jeśli A = (x₁, y₁, z₁, t₁), B = (x₂, y₂, z₂,t₂)

to: |AB| =

analogicznie można postąpić z przestrzeniami: pięcio- , sześcio- itd. wymiarowymi.

Obliczać w tych przestrzeniach można nie tylko odległości punktów, ale np. współrzędne wektorów, współrzędne obrazów punktów w translacjach (przesunięciach o wektor), współrzędne środka odcinka.

Co najmniej zdumiewające, potrafimy obliczać odległości w przestrzeniach, których… nie potrafimy sobie wyobrazić!

Właśnie czwarty wymiar! To fascynujące. Niektórzy uznają, że tym czwartym wymiarem jest czas, czy jednak przyjęcie tej propozycji ułatwia nam, nie powiem: rozumienie, ale wyobrażenie świata czterowymiarowego?

Proponowane rozumowanie jest odwrotne – zamiast w „górę”, przejść w „dół”.

Pomysł oczywiście nie jest mój, kilka (może kilkanaście) lat temu spotkałam się po raz pierwszy z pojęciem: PŁASZCZAKI. Nie to nie jest błąd, nie pomyliłam się, nie płaszczki (nie zamierzam tykać biologii J), tylko Płaszczaki (i nie chodzi tu także o obiegową nazwę płaskiego ekranu).

Nie pamiętam (niestety) nazwiska autora tego artykułu, jednakże pomysł Płaszczaków zbudował On na kanwie książki E. A. Abbotta pt. „Flatlandia” . Nota bene, co ciekawe książka ta wydana w Anglii w roku 1884, była napisana nie tylko jako powieść fantastyczna, ale przede wszystkim jako satyra na ówczesne czasy, a po drugie wydanie polskie ukazało się dopiero pod koniec lat 90-tych XX wieku.

Uważam, że kraina zwana Flatlandią jest fascynująca, podobnie zresztą uważała grupa moich byłych uczniów, których zapoznałam z płaszczakami i którzy je polubili. Płaszczaki to stworki żyjące na płaszczyźnie.

Nam – osobom żyjącym w trójwymiarowym świecie nawet nie przychodzi do głowy, że może istnieć inny świat – ograniczony tylko do dwóch wymiarów. Może ktoś się oburzyć, że zarzucam mu brak wyobraźni, ale chyba zrobi to głównie z dwóch powodów: po pierwsze powie, że przecież, na co dzień posługujemy się rysunkami, planami itp. (a przecież to płaszczyzna!), po drugie: znamy dobrze od lat dziecięcych filmy – kreskówki (to również rysunki na płaszczyźnie). Zgoda! Jednak już małe dzieci uczymy, by na ich rysunkach coś było większe, coś mniejsze, coś bardziej z tyłu, a coś bardziej z przodu (zanim cokolwiek usłyszą o perspektywie) chcemy, by te „płaskie malunki, rysunki” „oddawały” naszą rzeczywistość (naszą, czyli trójwymiarową). A Bolek i Lolek na ekranie przecież obracają się do nas to bokiem, to przodem – czyli też żyją w trzech wymiarach.

A Płaszczaki ? Otóż proszę państwa: nie! One żyją tylko w dwóch wymiarach, a zatem ich cały świat ogranicza się jedynie do płaszczyzny. Żyją, mieszkają na płaszczyźnie kartki, nie widzą niczego poza nią, nie mogą w żaden sposób się też poza nią wychylić. Przyjrzyjmy się tej kartce, którą mamy przed sobą (nawet, jeśli jest ona na monitorze komputera). Czy to będzie litera, jakiś znak, czy też znacznik myszy na monitorze to... właśnie można je przesuwać: lewo, prawo, góra, dół, oczywiście i po skosach, ale żadnym sposobem nie zobaczymy np. literki a odwróconej do nas bokiem, czy tyłem, co najwyżej możemy ją postawić „na głowie”. Prawda? Otóż to, cały świat Płaszczaków to tylko kierunki: góra – dół, lewa – prawa (tylko czyja?) - chyba wygodniej byłoby przyjąć: wschód – zachód.

Oczywiście, wygląd takiego stworka to sprawa dyskusji i każdy ma prawo do „swojego” płaszczaka. Jednakże z uwagi na tendencję do antropomorfizacji, płaszczaka staramy się upodobnić jak najbardziej do siebie. Stąd tenże ma dwie ręce, ale tylko po dwa palce, (bo po cóż mu więcej, prawda?), dwie nogi, głowę i na przykład mógłby on wyglądać tak:

Aby mógł widzieć, powinien mieć oczy, a jeśli ma oczy, to muszą być one umieszczone na powierzchni głowy, symetrycznie po obu stronach. Gdyby zafundować jemu oczy na środku „twarzy” nie widziałby nic na swojej kartce, gdyby je miał po jednej stronie zawsze oglądałby tylko to, co znajdowałoby się przed nim. A z tyłu mógłby ktoś go niespodziewanie zaskoczyć. Płaszczak zaproponowany przez jedną z moich (byłych) uczennic wygląda tak, jak na rysunku obok:

Niektórzy twierdzą, że powinien mieć długą, giętką szyję, aby móc tak ją zgiąć by patrzeć dwojgiem oczu. No cóż jak to w świecie wyobraźni, każdy ma prawo do swego zdania.

Płaszczaki poruszają się krokiem dostawnym – przesuwają na wschód (powiedzmy) jedną nogę, potem dostawiają drugą, druga noga nie może wyprzedzić pierwszej.

Zapewne jednak świetnie skaczą, inaczej nie miałyby wiele możliwości poruszania się w swoim świecie. Jeśli idą dwa Płaszczaki naprzeciw siebie nie mają innej możliwości minięcia się na jednej linii inaczej niż przez przeskoczenie. Jeden przeskakuje drugiego (na pewno mają swoje zasady) i spokojnie idą sobie każdy w swoją stronę. Zauważcie, że jeśli Płaszczak się położy na jednym boku, to, jeśli zechce zmienić bok musi wstać.

Przy stole płaszczaka jest miejsce tylko na dwa stworki, ponadto jeden z nich musi przejść po stole lub nad nim przeskoczyć, aby znaleźć się po drugiej stronie.

Wiele jest utrudnień w tym płaskim świecie, ale i wiele ułatwień, np. nic ze stołu nie zsunie się w inną stronę jak tylko któregoś z tych dwóch stworków.

Cóż widzi Płaszczak? Skoro jest na kartce, to może widzieć tylko to, co na niej się znajduje, (ale nie z naszego punktu widzenia), czyli widzi tylko coś na kształt nitki, a na niej wyróżnione punkty i odcinki. Według mnie ten płaski świat koniecznie musi być kolorowy – jedynie kolorami, bowiem rozróżniać można przedmioty. Wiele różnych wspaniałych zagadnień można by rozważać na temat Płaszczaków: jak mieszkają, co robią. Zapewne, skoro była mowa o stole, mają domki, ciekawe jak one wyglądają? Czy są to tylko norki w ziemi z zasuwanym z góry, bądź podnoszonym wejściem? Jednakże, jakie by one nie były, Płaszczak, jeśli nawet zamknie się w nim i nie będzie widziany przez inne Płaszczaki, to cały czas jest widziany przez istoty patrzące na płaszczyznę kartki z trzeciego wymiaru.

Wyczytałam, gdzieś w Internecie, że A. K. Dewndey (pod koniec lat siedemdziesiątych) ustanowił podstawy fizyki, chemii i biologii w płaskim świecie. Wymyślił też wiele urządzeń, którymi mogą się posługiwać Płaszczaki (m. in. zawiasy, sprężyny).Jego Płaszczaki są na wysokim poziomie cywilizacyjnym. Wiele czasu można spędzić nad wymyślaniem tego płaskiego świata i zasad w nim panujących – zabawa jest przednia.

Jednak skąd wzięliśmy się we Flatlandii, ano właśnie zaczęło się od więcej niż trzywymiarowych przestrzeni. My z pozycji trzeciego wymiaru nie dość, że cały czas obserwujemy Płaszczaka bez jego wiedzy (on ze swojej kartki nas nie widzi – nie ma możliwości!), to jeszcze możemy ingerować w jego świat i dla niego będzie to zupełnie niezrozumiałe, np. możemy nie tylko przesunąć meble w jego domku, albo wyjąć mu stół i ustawić na przykład poza domkiem, nie naruszając żadnych ścian, niczego. Zabierając płaszczakowi cokolwiek, nawet w jego obecności nie będziemy przez niego zauważeni, bo działamy z trzeciego wymiaru, a część wspólna naszych palców z płaszczyzną to tylko owal, którego łuk na moment mignie płaszczakowi. Możemy też wziąć samego płaszczaka i przenieść w jakiekolwiek inne miejsce jego świata, nie dość tego, możemy być jeszcze bardziej okrutni i przenieść płaszczaka na inną kartkę, dla niego to będzie inny świat. Inny, ale dalej dwuwymiarowy. On raczej nie potrafi pojąć świata z trzema wymiarami, może się domyślać jego istnienia czy wręcz być o nim przekonany, może snuć rozmaite domysły. Podobnie jak my o świecie cztero-wymiarowym ( o n-wymiarach nie wspomnę).

P.s. Ha, gdy ja tu sobie piszę przy komputerze może teraz jakiś czterowymiarowy stwór obserwuje mnie ze swojego wymiaru – nawet nie mam się co rozglądać, bo tak jak Płaszczak poza swoimi dwoma wymiarami nie widzi trzeciego, tak ja poza swoimi trzema … Mam tylko nadzieję, że temu, który widzi mnie (i Was moi mili także) nie przyjdzie do głowy wystawianie mi mebli lub przeniesienie mnie „na inną kartkę”.